题目内容
【题目】已知函数的定义域为R,且的图像过点.
(1)求实数b的值;
(2)若函数在上单调递增,求实数a的取值范围;
(3)是否存在实数a,使函数在R上的最大值为?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由?
【答案】(1);(2);(3)存在,.
【解析】
(1)由图象变换可得f(0)=log4b=0,解得b;
(2)可令t,可得t>0,且函数t在[1,+∞)上单调递增,求出导数,由导数不小于0,解不等式即可得到a的范围;
(3)假设存在实数a,使函数f(x)在R上的最大值为1﹣log43,即有t在R上的最大值为.将函数t整理为关于x的方程,运用判别式非负,结合二次方程的根的含义,代入,解方程即可得到a的值,检验即可得到所求值.
(1)y=f(x+1)的图象过点A(﹣1,0),
可得y=f(x)的图象过点(0,0),
即有f(0)=log4b=0,解得b=1;
(2)可令t,
可得t>0,且函数t在[1,+∞)上单调递增,
由导数t′
0恒成立,
由于x≥1,可得a﹣1≤0,即a≤1,
当a=1时,函数t=1为常数,舍去,
故a<1;
(3)假设存在实数a,使函数f(x)在R上的最大值为1﹣log43,
即有t在R上的最大值为.
即有(t﹣1)x2+(t﹣a)x+t﹣1=0
由△=(t﹣a)2﹣4(t﹣1)2≥0,
即有3t2﹣(8﹣2a)t﹣(a2﹣4)≤0,
由假设可得3(8﹣2a)(a2﹣4)=0,
解得a=2或,
当a=2时,f(x)=log4的定义域不为R,舍去,
则存在实数a为,使函数f(x)在R上的最大值为1﹣log43.
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