题目内容
【题目】已知椭圆 :
的离心率为
,且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2.
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)若直线 :
与椭圆
相交于
,
两点,在
轴上是否存在点
,使直线
与
的斜率之和
为定值?若存在,求出点
坐标及该定值,若不存在,试说明理由.
【答案】
(1)解:由已知可得 解得
,
,
故答案为:所求椭圆方程为 .
(2)由 得
,
则 ,解得
或
.
设 ,
,
则 ,
,
设存在点 ,则
,
,
所以
.
要使 为定值,只需
与参数
无关,
故 ,解得
,
当 时,
.
故答案为:存在点 ,使得
为定值,且定值为0.
【解析】(1)由已知条件得到关于a,b,c的方程组求a,b,c得到椭圆方程.
(2)将直线和椭圆方程联立成方程组,消去y,得关于x的一元二次方程,结合韦达定理将斜率和表示出来,由式子为定值求m的值.

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