题目内容
已知函数的定义域为,若在上为增函数,则称为“一阶比增函数”;若在上为增函数,则称为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为,所有“二阶比增函数”组成的集合记为.
(Ⅰ)已知函数,若且,求实数的取值范围;
(Ⅱ)已知,且的部分函数值由下表给出,
(Ⅲ)定义集合
请问:是否存在常数,使得,,有成立?若存在,求出的最小值;若不存在,说明理由.
(I)(Ⅱ)见解答(Ⅲ).
解析试题分析:(I)理解且的意义,代入后利用函数的性质求解; (Ⅱ)通过表格得到 ,再运用为增函数建立不等式,导出,运用 即可. (Ⅲ)判断 即运用反证法证明,如果使得则利用即为增函数一定可以找到一个,使得,对成立;同样用反证法证明证明在上无解;从而得到,对成立,即存在常数,使得,,有成立,选取一个符合条件的函数判断 的最小值是 ,由上面证明结果确定 即是符合条件的所有函数的结果.
试题解析:(I)因为且,
即在是增函数,所以 2分
而在不是增函数,而
当是增函数时,有,所以当不是增函数时,.
综上得 4分
(Ⅱ) 因为,且
所以,
所以,
同理可证,
三式相加得
所以 6分
因为所以
而,所以
所以 8分
(Ⅲ) 因为集合 且存在常数 ,使得任取
所以,存在常数 ,使得 对成立
我们先证明对
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