Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=3ⁿ+n²-2，则a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，}&{n=1}\\{\frac{2}{3}•{3}^{n}+2n-1，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 通过S_n=3ⁿ+n²-2与S_n+1=3ⁿ⁺¹+（n+1）²-2作差、整理即得结论．

解答 解：∵S_n=3ⁿ+n²-2，
∴S_n+1=3ⁿ⁺¹+（n+1）²-2，
两式相减得：a_n+1=2•3ⁿ+2n+1=$\frac{2}{3}•{3}^{n+1}$+2（n+1）-1，
又∵a₁=3+1-2=2不满足上式，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，}&{n=1}\\{\frac{2}{3}•{3}^{n}+2n-1，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{2，}&{n=1}\\{\frac{2}{3}•{3}^{n}+2n-1，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．