Question

7．设命题p：方程$\frac{{x}^{2}}{k+1}$-$\frac{{y}^{2}}{5-k}$=1表示焦点在x轴上的双曲线，命题q：?x∈R，x²+1＞k．
（1）若p为真命题，求实数k的取值范围；
（2）若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据双曲线的定义得到关于k的不等式组，解出即可；（2）先求出q为真时的k的范围，结合p∨q为真命题，p∧q为假命题得到关于k的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）命题p：方程$\frac{{x}^{2}}{k+1}$-$\frac{{y}^{2}}{5-k}$=1表示焦点在x轴上的双曲线，
则$\left\{\begin{array}{l}{k+1＞0}\\{5-k＞0}\end{array}\right.$，解得：-1＜k＜5．
即命题p为真命题时，实数m的取值范围是：-1＜k＜5；
（2）若命题q真，即对任意实数x，不等式x²+1＞k恒成立，
∴k＜（x²+1）_min，
∴k＜1．
∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，即p真q假，或p假q真，
如果p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{-1＜k＜5}\\{k≥1}\end{array}\right.$，解得：1≤k＜5；
如果p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}{k≥5或k≤-1}\\{k＜1}\end{array}\right.$，解得：k≤-1；
所以实数k的取值范围为（-∞，-1]∪[1，5）．

点评 本题考查了双曲线的定义，考查二次函数的性质，考查复合命题的判断，是一道中档题．