Question

13．设不等式组$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\ y＞0\\ y≤-nx+3n\end{array}\right.$所表示的平面区域为D_n，记D_n内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为f（n）（n∈N^*）
（1）求f（1），f（2）的值及f（n）的表达式；
（2）若数列{a_n}满足a₁=1，${a_{n+1}}-{a_n}=f（n），（n∈{N^•}）$，求数列{a_n}的通项公式；
（3）设S_n为数列{b_n}的前n项的和，其中${b_n}={2^{f（n）}}$，问是否存在正整数n，t，使$\frac{{{S_n}-t{b_n}}}{{{S_{n+1}}-t{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{16}$成立？若存在，求出正整数n，t；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过不等式可知平面区域D_n即为x轴、y轴、直线y=-n（x-3）围城的三角形（含直线y=-n（x-3）所在边上的点），易知f（1）=3、f（2）=6，利用直线y=-n（x-3）恒过点（3，0），分x=1、2时y的取值情况可知f（n）=3n；
（2）通过f（n）=3n、利用a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）计算即得结论；
（3）通过${b_n}={2^{f（n）}}$=8ⁿ可知S_n=$\frac{8}{7}$（8ⁿ-1），通过将S_n代入$\frac{{{S_n}-t{b_n}}}{{{S_{n+1}}-t{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{16}$化简可知$\frac{{（8-7t）{8^n}-8}}{{（8-7t）{8^n}-1}}＜\frac{1}{2}$，通过令m=（8-7t）8ⁿ、整理可知1＜m＜15，进而可得结论．

解答 解：（1）依题意，平面区域D_n即为x轴、y轴、直线y=-n（x-3）围城的三角形（含直线y=-n（x-3）所在边上的点），
∴f（1）=3，f（2）=6，
∵直线y=-n（x-3）恒过点（3，0），
∴当x=1时，y取值为1，2，3，…，2n共有2n个格点，
当x=2时，y取值为1，2，3，…，n共有n个格点，
∴f（n）=n+2n=3n；
（2）∵f（n）=3n，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+3[1+2+3+…+（n-1）]
=$1+\frac{3n（n-1）}{2}（n≥2）$
又∵a₁=1满足上式，
∴${a_n}=1+\frac{3n（n-1）}{2}（n∈{N^•}）$；
（3）结论：存在正整数n=1、t=1使$\frac{{{S_n}-t{b_n}}}{{{S_{n+1}}-t{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{16}$成立．
理由如下：
∵f（n）=3n，
∴${b_n}={2^{f（n）}}$=8ⁿ，
∴S_n=$\frac{8（1-{8}^{n}）}{1-8}$=$\frac{8}{7}$（8ⁿ-1），
将S_n代入$\frac{{{S_n}-t{b_n}}}{{{S_{n+1}}-t{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{16}$，
化简得：$\frac{{（{\frac{8}{7}-t}）{8^n}-\frac{8}{7}}}{{（{\frac{8}{7}-t}）{8^n}-\frac{1}{7}}}＜\frac{1}{2}$，即$\frac{{（8-7t）{8^n}-8}}{{（8-7t）{8^n}-1}}＜\frac{1}{2}$
令m=（8-7t）8ⁿ，则$\frac{m-8}{m-1}＜\frac{1}{2}$，
∴$\frac{m-15}{2（m-1）}$＜0，
∴（m-15）（m-1）＜0，
∴1＜m＜15，
∵m=（8-7t）8ⁿ，且t、n∈N^•，
∴（8-7t）•8ⁿ=8，
解得：n=t=1，
综上，存在正整数n=1、t=1使$\frac{{{S_n}-t{b_n}}}{{{S_{n+1}}-t{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{16}$成立．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．