Question

20．已知点N（2，0），以N为圆心的圆与直线l₁：y=x和l₂：y=-x都相切．
（1）求圆N的方程；
（2）设l分别与直线l₁和l₂交于A、B两点，且AB中点为E（4，1），试判断直线l与圆N的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用圆N与直线l₁：y=x相切，求出圆的半径，即可求圆N的方程；
（2）设A（a，a），B（b，-b），利用AB中点为E（4，1），求出A的坐标，可得直线AB的方程，利用圆心N（2，0）到直线的距离d＜r，即可得出结论．

解答 解：（1）∵圆N与直线l₁：y=x相切，∴半径r=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．       
∴圆N的方程为（x-2）²+y²=2．                   
（2）显然l斜率存在，设A（a，a），B（b，-b），
∵AB中点为E（4，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=8}\\{a-b=2}\end{array}\right.$，
∴a=5，b=3，
∴A（5，5），
∴直线AB的方程为y-5=$\frac{5-1}{5-4}$（x-5），即4x-y-15=0，
圆心N（2，0）到直线的距离d=$\frac{|8-15|}{\sqrt{17}}$＜2，
∴判断直线l与圆N相交．

点评 本题考查直线和圆的方程的应用，考查圆的方程，考查学生的计算能力，求出A，B的坐标是关键．