Question

已知函数满足：对任意，都有成立，且时，．
（1）求的值，并证明：当时，；
（2）判断的单调性并加以证明；
（3）若在上递减，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）2；（2）函数在上是增函数；（3）

试题分析：（1）用赋值法可求得的值。，则，那么.用赋值法令中的，整理出的关系式，用表示出，因为有的范围所以可求出的范围。（2）由（1）知时，，，时，，所以在R上。在R上任取两个实数并可设，根据已知可用配凑法令在代入上式找出的关系。在比较的大小时，在本题中采用作商法与1比较大小。（3）由（２）知函数在上是增函数。当时，函数在上也是增函数，不合题意故舍。当时在上单调递减，此时只需的最大值小于等于k即可。
试题解析：（1）令,则,
即,解得或
若，令,则,
与已知条件矛盾.
所以
设，则，那么.
又

，从而．
（２）函数在上是增函数．
设，由（１）可知对任意
且





故，即
函数在上是增函数。
（３）由（２）知函数在上是增函数．
函数在上也是增函数，
若函数在上递减，
则时，，
即时，．
时，