题目内容
在直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限、半径为2
的圆C与直线y=x相切于坐标原点O,椭圆
+
=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
(1)求圆C的方程.
(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段OF的长,若存在,请求出Q的坐标;若不存在,请说明理由.
的圆C与直线y=x相切于坐标原点O,椭圆+=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.(1)求圆C的方程.
(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段OF的长,若存在,请求出Q的坐标;若不存在,请说明理由.
（1）(x+2)2+(y-2)2=8. （2）存在，Q
(1)设圆C的圆心为A(p,q),
则圆C的方程为(x-p)2+(y-q)2=8.
因为直线y=x与圆C相切于坐标原点O,
所以O在圆C上,且直线OA垂直于直线y=x.
于是有
⇒
或
由于点A(p,q)在第二象限,故p<0.
所以圆C的方程为(x+2)2+(y-2)2=8.
(2)因为椭圆+=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点距离之和为10,所以2a=10⇒a=5,故椭圆右焦点为F(4,0).
若圆C上存在异于原点的点Q(x0,y0)到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长,则有|QF|=|OF|,于是(x0-4)2+
=42,且
+≠0.①
由于Q(x0,y0)在圆上,故有(x0+2)2+(y0-2)2=8.②
解①和②得
故圆C上存在满足条件的点Q.
则圆C的方程为(x-p)2+(y-q)2=8.
因为直线y=x与圆C相切于坐标原点O,
所以O在圆C上,且直线OA垂直于直线y=x.
于是有
⇒或由于点A(p,q)在第二象限,故p<0.
所以圆C的方程为(x+2)2+(y-2)2=8.
(2)因为椭圆
+=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点距离之和为10,所以2a=10⇒a=5,故椭圆右焦点为F(4,0).若圆C上存在异于原点的点Q(x0,y0)到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长,则有|QF|=|OF|,于是(x0-4)2+
=42,且+≠0.①由于Q(x0,y0)在圆上,故有(x0+2)2+(y0-2)2=8.②
解①和②得
故圆C上存在满足条件的点Q
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练习册系列答案
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（
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