题目内容
2.已知函数f(x)=a-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$,(x∈R).且f(x)为奇函数,(1)求a的值;
(2)若函数f(x)在区间(-1,1)上为增函数,且满足f(x-1)+f(x)<0,求x 的取值集合.
分析 (1)因为x∈R,所以在实属范围内任取一个x值代入已知函数解析式,列出关于a的方程,通过解方程求得a的值.
(2)利用奇函数的定义得到-f(x)=f(-x),结合已知条件函数f(x)在区间(-1,1)上为增函数,且满足f(x-1)+f(x)<0得到:x-1<-x且-1<-x<1且-1<x-1<1,由此求得x的取值范围.
解答 解:(1)依题意得:f(0)=0,即:0=a-$\frac{1}{2}$,
解得:a=$\frac{1}{2}$;
(2)∵函数f(x)=a-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$为奇函数,
∴-f(x)=f(-x),
又∵函数f(x)在区间(-1,1)上为增函数,且满足f(x-1)+f(x)<0,f(x-1)<-f(x)=f(-x)
∴x-1<-x,-1<-x<1,-1<x-1<1同时满足,
得出:0<x<$\frac{1}{2}$.
故x的取值集合为(0,$\frac{1}{2}$).
点评 本题考查了奇偶性与单调性的综合,函数奇偶性的性质.该题利用了偶函数与单调性之间的关系构造了关于x的不等式,最后不要忽视结果要写成集合形式.
练习册系列答案
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