题目内容
11．在△ABC中，b2-a2=$\frac{{c}^{2}}{2}$，∠A=$\frac{π}{4}$，求tanC．分析 由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccos$\frac{π}{4}$，已知b2-a2=$\frac{1}{2}$c2．可得b=$\frac{3\sqrt{2}c}{4}$，a=$\frac{\sqrt{10}}{4}$c．利用余弦定理可得cosC．可得sinC，即可得出tanC=$\frac{sinC}{cosC}$．
解答 解：∵A=$\frac{π}{4}$，
∴由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccos$\frac{π}{4}$，
∴b2-a2=$\sqrt{2}$bc-c2，
又b2-a2=$\frac{1}{2}$c2．
∴$\sqrt{2}$bc-c2=$\frac{1}{2}$c2．
∴$\sqrt{2}$b=$\frac{3}{2}$c．可得b=$\frac{3\sqrt{2}c}{4}$，
∴a2=b2-$\frac{1}{2}$c2=$\frac{5}{8}$c2，即a=$\frac{\sqrt{10}}{4}$c．
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∵C∈（0，π），
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴tanC=$\frac{sinC}{cosC}$=2．
点评 本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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