题目内容
9．已知等比数列{bn}与数列{an}满足bn=2${\;}^{{a}_{n}}$，n∈N*．（1）判断{an}是何种数列，并给出证明；
（2）若a8+a13=$\frac{1}{2}$，求b1b2…b20．
分析 （1）利用等比数列、等差数列的定义，即可判断；
（2）利用等差数列的性质，即可求b1b2…b20．
解答 解：（1）设等比数列{bn}的公比为q，则$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=${2}^{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$=q，
∴an-an-1=log2q，
∴{an}是等差数列；
（2）∵{an}是等差数列，a8+a13=$\frac{1}{2}$，∴a1+a20=a2+a19=…a8+a13=a9+a12=a10+a11=$\frac{1}{2}$，
b1b2…b20=${2}^{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{20}}$=32．
点评 本题考查等比数列、等差数列的定义，考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．
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