题目内容
已知函数
，函数
是函数
的导函数.
（1）若
，求
的单调减区间；
（2）若对任意
，
且
，都有
，求实数
的取值范围；
（3）在第（2）问求出的实数
的范围内，若存在一个与
有关的负数
，使得对任意
时
恒成立，求的最小值及相应的值.
（1）单调减区间为
（2）
（3）当
时，
的最小值为
【解析】（1）当
时，
，
……………1分
由
解得
………………2分
当时函数
的单调减区间为；…………3分
（2）易知
依题意知
……………………………………………………5分
因为
，所以
，即实数
的取值范围是 ；…………6分
（3）解法一：易知
，.
显然
，由（2）知抛物线的对称轴
…………7分
①当
即
时，
且
令
解得
………………8分
此时
取较大的根，即
……………9分
， 
…………………10分
②当
即
时，
且
令
解得
………………11分
此时
取较小的根，即
…………12分
， 
当且仅当时取等号……13分
由于
，所以当
时，
取得最小值
………………14分
解法二：对任意
时，“
恒成立”等价于“
且
”
由（2）可知实数的取值范围是
故
的图象是开口向上，对称轴的抛物线…7分
①当
时，
在区间
上单调递增，
∴
，
要使
最小，只需要
………8分
若
即
时，无解
若
即
时，………………9分
解得
（舍去） 或
故
（当且仅当时取等号）…………10分
②当
时，在区间
上单调递减，在
递增，
则
，…………………11分
要使最小，则
即
………………………………………………………12分
解得
（舍去）
或
（当且仅当时取等号）…13分
综上所述，当时，的最小值为.………………………………14分
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