题目内容

如图1,在直角梯形ABCD中,ADBCADC90°BABC.BAC沿AC折起到PAC的位置,使得点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上,如图2所示.点EF分别为棱PCCD的中点.

(1)求证:平面OEF平面APD

(2)求证:CD平面POF

(3)在棱PC上是否存在一点M,使得MPOCF四点距离相等?请说明理由.

 

1)见解析(2)见解析(3)存在

【解析】(1)证明:因为点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上,所以PO平面ADC,所以POAC.

因为ABBC,所以OAC的中点,

所以OEPA.

同理OFAD.

OEOFOPAADA

所以平面OEF平面PDA.

(2)证明:因为OFADADCD

所以OFCD.

PO平面ADCCD?平面ADC

所以POCD.

OFPOO,所以CD平面POF.

(3)存在,事实上记点EM即可.

因为CD平面POFPF?平面POF

所以CDPF.

EPC的中点,所以EFPC

同理,在直角三角形POC中,EPECOEPC

所以点E到四个点POCF的距离相等.

 

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