题目内容
【题目】对于数列,称
(其中
)为数列
的前k项“波动均值”.若对任意的
,都有
,则称数列
为“趋稳数列”.
(1)若数列1,,2为“趋稳数列”,求
的取值范围;
(2)若各项均为正数的等比数列的公比
,求证:
是“趋稳数列”;
(3)已知数列的首项为1,各项均为整数,前
项的和为
. 且对任意
,都有
, 试计算:
(
).
【答案】(1)(2)证明见解析,(3)
【解析】
(1)由新定义可得,解不等式可得
的范围;(2)运用等比数列的通项公式和求和公式,结合新定义,运用不等式的性质即可得证;(3)由任意
,
,都有
,可得
,由等比数列的通项公式,可得
,结合新定义和二项式定理,化简整理即可得到所求值.
(1)由题意,即
,
解得 ,
(2)由已知,设,因
且
,故对任意的
,都有
,
∴
,
因∴
∴,
,
,
,
,
∴,
∴
∴
∴
即对任意的,都有
,故
是“趋稳数列”,
(3) 当时,
当时,
∴
同理,,
因
∴
即 ,
所以 或
所以 或
因为,且
,所以
, 从而
,
所以
.
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