Question

17．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁=2，E，F分别是CC₁，BC的中点．
（1）求证：EF⊥平面AB₁F；
（2）求三棱锥B₁-AEF的体积；
（3）若点M是AB上一点，求|FM|+|MB₁|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件推导出面ABC⊥面BB₁C₁C，从而AF⊥EF，由勾股定理得B₁F⊥EF．由此能证明EF⊥平面AB₁F；
（2）利用等体积法，求三棱锥B₁-AEF的体积；
（3）将侧面AB₁B，沿AB展开为ABO，使得平面ABO与平面ABC共面，利用余弦定理求|FM|+|MB₁|的最小值．

解答 （1）证明：∵F是等腰直角三角形△ABC斜边BC的中点，
∴AF⊥BC．
又∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
∴面ABC⊥面BB₁C₁C，
∴AF⊥面BB₁C₁C，
∴AF⊥EF．
∵AB=AA₁=2，则B₁F=$\sqrt{6}$，EF=$\sqrt{3}$，B₁E=3，∴B₁F⊥EF．
又AF∩B₁F=F，∴EF⊥平面AB₁F．
（2）解：三棱锥B₁-AEF的体积V=${V}_{A-{B}_{1}EF}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{6}×\sqrt{2}$=1；
（3）解：将侧面AB₁B，沿AB展开为ABO，使得平面ABO与平面ABC共面，
在△OBF中，BF=$\sqrt{2}$，OB=2，∠OBF=135°，∴OF=$\sqrt{2+4-2×\sqrt{2}×2×（-\frac{\sqrt{2}}{2}）}$=$\sqrt{10}$，
∴|FM|+|MB₁|的最小值为$\sqrt{10}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥B₁-AEF的体积，考查最小值问题，属于中档题．