题目内容

如图,在直四棱柱ABCD-ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AB//CD,AB="4," BC="CD=2, " AA="2, " E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。
(1)  证明:直线EE//平面FCC
求二面角B-FC-C的余弦值。
(1)在直四棱柱ABCD-ABCD中,取A1B1的中点F1
连接A1D,C1F1,CF1,因为AB="4," CD=2,且AB//CD,
所以CDA1F1,A1F1CD为平行四边形,所以CF1//A1D,
又因为E、E分别是棱AD、AA的中点,所以EE1//A1D,
所以CF1//EE1,又因为平面FCC平面FCC
所以直线EE//平面FCC.

(2)因为AB="4," BC="CD=2," 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在△BCF为正三角形中,,在Rt△CC1F中, △OPF∽△CC1F,∵,
在Rt△OPF中,,,所以二面角B-FC-C的余弦值为.

解法二:(1)因为AB="4," BC="CD=2," F是棱AB的中点,
所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形, 因为ABCD为
等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中点M,
连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,
以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,
,则D(0,0,0),A(,-1,0),F(,1,0),C(0,2,0),
C1(0,2,2),E(,,0),E1,-1,1),所以,,设平面CC1F的法向量为所以,则,所以,所以直线EE//平面FCC.
(2),设平面BFC1的法向量为,则所以,取,则,
,
所以,由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为
练习册系列答案
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