题目内容
如图,在直四棱柱ABCD-A
B
C
D
中,底面ABCD为等腰梯形,AB//CD,AB="4," BC="CD=2, " AA
="2, " E、E
、F分别是棱AD、AA
、AB的中点。
(1) 证明:直线EE
//平面FCC
;
求二面角B-FC
-C的余弦值。








(1) 证明:直线EE


求二面角B-FC


(1)在直四棱柱ABCD-A
B
C
D
中,取A1B1的中点F1,
连接A1D,C1F1,CF1,因为AB="4," CD=2,且AB//CD,
所以CDA1F1,A1F1CD为平行四边形,所以CF1//A1D,
又因为E、E
分别是棱AD、AA
的中点,所以EE1//A1D,
所以CF1//EE1,又因为
平面FCC
,
平面FCC
,
所以直线EE
//平面FCC
.

(2)因为AB="4," BC="CD=2," 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-A
B
C
D
中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC
-C的一个平面角, 在△BCF为正三角形中,
,在Rt△CC1F中, △OPF∽△CC1F,∵
∴
,
在Rt△OPF中,
,
,所以二面角B-FC
-C的余弦值为
.

解法二:(1)因为AB="4," BC="CD=2," F是棱AB的中点,
所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形, 因为ABCD为
等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中点M,
连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,
以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,
,则D(0,0,0),A(
,-1,0),F(
,1,0),C(0,2,0),
C1(0,2,2),E(
,
,0),E1(
,-1,1),所以
,
,
设平面CC1F的法向量为
则
所以
取
,则
,所以
,所以直线EE
//平面FCC
. 
(2)
,设平面BFC1的法向量为
,则
所以
,取
,则
,
,
, 
所以
,由图可知二面角B-FC
-C为锐角,所以二面角B-FC
-C的余弦值为




连接A1D,C1F1,CF1,因为AB="4," CD=2,且AB//CD,
所以CDA1F1,A1F1CD为平行四边形,所以CF1//A1D,
又因为E、E


所以CF1//EE1,又因为




所以直线EE



(2)因为AB="4," BC="CD=2," 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-A









在Rt△OPF中,





解法二:(1)因为AB="4," BC="CD=2," F是棱AB的中点,
所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形, 因为ABCD为
等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中点M,
连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,
以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,
,则D(0,0,0),A(


C1(0,2,2),E(
















(2)









所以




略

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