Question

12．已知点A，B，C都在以原点O为圆心点的圆上，其中$\overrightarrow{OA}$=（-3，4），点B位于第一象限，点C为圆O与x轴正半轴的交点，若△BOC为正三角形．
（1）求cos∠AOC的值和△AOB的面积；
（2）记向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{BC}$的夹角为θ，求cos2θ的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用任意角的三角函数的定义求得 cos∠AOC 的值，可得sin∠AOC 的值，再利用两角差的余弦公式求得cos∠AOB=cos（∠AOC-$\frac{π}{3}$）的值．
（2）由题意可得，B（$\frac{5}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{5}{2}$，-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）；求得cosθ=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{BC}|}$ 的值，再利用二倍角的余弦公式求得 cos2θ=2cos²θ-1的值．

解答 解：（1）如图所示：令∠AOB=θ，∵△BOC为正三角形，可得∠BOC=$\frac{π}{3}$．
∵$\overrightarrow{OA}$=（-3，4），可得点A（-3，4），∴x=-3，y=4，r=|OA|=5，cos∠AOC=$\frac{x}{r}$=$\frac{-3}{5}$=-$\frac{3}{5}$．
由以上可得，sin∠AOC=$\frac{y}{r}$=$\frac{4}{5}$，∴cos∠AOB=cos（∠AOC-$\frac{π}{3}$）=cos∠AOCcos$\frac{π}{3}$+sin∠AOCsin$\frac{π}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$，
∴sin∠AOB=$\sqrt{1{-cos}^{2}∠AOB}$=$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$，故△AOB的面积为$\frac{1}{2}$OA•OB•sin∠AOB=$\frac{1}{2}×5×5×\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$=$\frac{20+15\sqrt{3}}{4}$．
（2）由题意可得，C（5，0），B（5cos$\frac{π}{3}$，5sin$\frac{π}{3}$），即B（$\frac{5}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{5}{2}$，-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）．
∵cosθ=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{-\frac{15}{2}-10\sqrt{3}}{5×5}$=-$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$，∴cos2θ=2cos²θ-1=$\frac{7+24\sqrt{3}}{50}$．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的余弦公式、二倍角的余弦公式的应用，两个向量的数量积公式、两个向量的数量积的定义，属于中档题．