题目内容

6.已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1
(1)若直线y=kx+2椭圆有两个交点,求出k的取值范围;
(2)经过椭圆左顶点A的直线交椭圆另一点B,线段AB的垂直平分线上的一点P满足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=4,若P点在y轴上,求出P点的坐标.

分析 (1)若直线y=kx+2与椭圆有两个交点,则直线y=kx+2代入椭圆方程,利用△>0,求出k的取值范围;
(2)分类讨论,利用向量的数量积公式,结合B在椭圆上,$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=4,即可求出P点的坐标.

解答 解:(1)直线y=kx+2代入椭圆方程,
可得(4k2+1)x2+16kx+12=0,
∵直线y=kx+2与椭圆有两个交点,
∴△=(16k)2-48(4k2+1)>0,
∴k<-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或k>$\frac{\sqrt{3}}{2}$;
(2)设P(0,y0),
①AB⊥y轴,A(-2,0),B(2,0),
则$\overrightarrow{PA}$=(-2,-y0),$\overrightarrow{PB}$=(2,-y0
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-4+y02=4,
∴y0=±2$\sqrt{2}$;
②AB与y轴不垂直时,设B(x1,y1)(y1≠0),
AB的中点($\frac{{x}_{1}-2}{2}$,$\frac{{y}_{1}}{2}$),
则线段AB的垂直平分线方程为y-$\frac{{y}_{1}}{2}$=-$\frac{{x}_{1}+2}{{y}_{1}}$(x-$\frac{{x}_{1}-2}{2}$)
令x=0,则y0=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-4+{{y}_{1}}^{2}}{2{y}_{1}}$=-$\frac{3}{2}$y1
∴$\overrightarrow{PA}$=(-2,$\frac{3}{2}$y0),$\overrightarrow{PB}$=(x1,$\frac{5}{2}$y1
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-2x1+$\frac{15}{4}$y12=-2x1+$\frac{15}{4}$•$\frac{4-{{x}_{1}}^{2}}{4}$=4,
∴x1=-$\frac{2}{15}$或x1=-2(舍去),
∴y12=$\frac{4-{{x}_{1}}^{2}}{4}$=$\frac{224}{225}$,
∴y1=±$\frac{4\sqrt{14}}{15}$,
∴y0=±$\frac{2\sqrt{14}}{5}$,
综上,P点的坐标为(0,±2$\sqrt{2}$),(0,±$\frac{2\sqrt{14}}{5}$).

点评 本题考查椭圆方程的运用,考查直线与椭圆的位置关系,考查分类讨论的数学思想,考查向量的数量积公式,考查学生的计算能力,属于中档题.

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