题目内容
【题目】（某工厂生产零件A，工人甲生产一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分别为
，工人乙生产一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分别为
．己知生产一件一等品、二等品、三等品零件A给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元.
（1）试根据生产一件零件A给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏；
（2）为鼓励工人提高技术，工厂进行技术大赛，最后甲乙两人进入了决赛．决赛规则是：每一轮比赛，甲乙各生产一件零件A，如果一方生产的零件A品级优干另一方生产的零件，则该方得分1分，另一方得分-1分，如果两人生产的零件A品级一样，则两方都不得分，当一方总分为4分时，比赛结束，该方获胜．Pi+4（i=
4，3，2，…，4）表示甲总分为i时，最终甲获胜的概率．
①写出P0，P8的值；
②求决赛甲获胜的概率．
【答案】（1）乙的技术更好，见解析（2）①
，
；②
【解析】
（1）列出分布列，求出期望，比较大小即可；
（2）①直接根据概率的意义可得P0，P8；②设每轮比赛甲得分为
，求出每轮比赛甲得1分的概率，甲得0分的概率，甲得
分的概率，可的
，可推出
是等差数列，根据
可得答案.
（1）记甲乙各生产一件零件给工厂带来的效益分别为元、
元，
随机变量，的分布列分别为
| 10 | 5 | 2 |
|
|
|
|
| 10 | 5 | 2 |
|
|
|
|
所以
，
，
所以
，即乙的技术更好
（2）①
表示的是甲得
分时，甲最终获胜的概率，所以，
表示的是甲得4分时，甲最终获胜的概率，所以；
②设每轮比赛甲得分为，则
每轮比赛甲得1分的概率
，
甲得0分的概率
，
甲得分的概率
，
所以甲得
时，最终获胜有以下三种情况：
（1）下一轮得1分并最终获胜，概率为
；
（2）下一轮得0分并最终获胜，概率为
；
（3）下一轮得分并最终获胜，概率为
；
所以
，
所以是等差数列，
则
，
即决赛甲获胜的概率是.
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