Question

【题目】已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线的斜率；

(2)讨论函数的单调性；

(3)当函数有极值时，若对， 恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析（3）

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，计算f′（1）的值即可；
（2）求出函数的导数，讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（3）问题转化为, 设h（x）=x-1-lnx，根据函数单调性求出h（x）的最小值，从而求出a的范围即可．

试题解析：

(1)当时， ，∴.

(2) ，

令，

①当时， ， ，即，函数在上单调递增.

②当时， ，令，则，

在和上， ，函数单调递增；

在上， 函数单调递减.

(3)由(1)可知，当时，函数在上有极值.

可化为，

∵，∴，

设，则，

当时， ，函数单调递减，当时， ，函数单调递增，

∴当， ，∴，

所以.

又∵，∴，即的取值范围是.