Question

【题目】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

表中 ，

（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

(ⅰ)年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

(ⅱ)年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

46.6	563	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

，

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）；（Ⅲ）年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.

【解析】

（Ⅰ）根据散点图，即可判断出结论，建立线性回归方程，求出d、c的值；

（Ⅱ）先建立中间量，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；

（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）计算年销售量y的预报值与利润值；

（ii）根据（Ⅱ）的结果求出年利润z的函数，求出年利润的最大值．

(Ⅰ)由散点图可以判断，适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．

(Ⅱ)令，先建立y关于w的线性回归方程．

由于，，

所以y关于w的线性回归方程为，

因此y关于x的回归方程为.

(Ⅲ)（i）由(Ⅱ)知， 当x＝49时，年销售量y的预报值，

年利润z的预报值.

（ii）根据(Ⅱ)的结果知，年利润z的预报值.

所以当，即x＝46.24时， 取得最大值．

故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．