Question

6．若a＞b＞0，则a²+$\frac{1}{b（a-b）}$的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由基本不等式可得b（a-b）≤$\frac{{a}^{2}}{4}$，再次利用基本不等式可得a²+$\frac{1}{b（a-b）}$≥a²+$\frac{4}{{a}^{2}}$≥2$\sqrt{{a}^{2}•\frac{4}{{a}^{2}}}$=4，注意两次等号同时取到即可．

解答 解：∵a＞b＞0，∴a-b＞0，
∴b（a-b）≤$（\frac{b+a-b}{2}）^{2}$=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
∴a²+$\frac{1}{b（a-b）}$≥a²+$\frac{4}{{a}^{2}}$≥2$\sqrt{{a}^{2}•\frac{4}{{a}^{2}}}$=4，
当且仅当b=a-b且a²=$\frac{4}{{a}^{2}}$即a=$\sqrt{2}$且b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号，
∴则a²+$\frac{1}{b（a-b）}$的最小值为4，
故选：C．

点评 本题考查基本不等式求最值，注意两次等号成立的条件是解决问题的关键，属基础题．