Question

15．已知函数f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，a＞0，b＞0，a≠b，A=f（$\frac{a+b}{2}$），B=f（$\sqrt{ab}$），C=f（$\frac{2ab}{a+b}$），则A，B，C中最大的为C．

Answer 1

分析 根据基本不等式可得$\frac{2ab}{a+b}$＜$\sqrt{ab}$＜$\frac{a+b}{2}$，结合由函数f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x为减函数，可得答案．

解答 解：∵a＞0，b＞0，
∴$\frac{2ab}{a+b}$＜$\sqrt{ab}$＜$\frac{a+b}{2}$，
又由函数f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x为减函数，
故f（$\frac{2ab}{a+b}$）＞f（$\sqrt{ab}$）＞f（$\frac{a+b}{2}$），
即C＞B＞A，
故A，B，C中最大的为C，
故答案为：C．

点评 本题考查的知识点是指数函数的图象与性质，基本不等式，是函数与不等式的综合应用，难度中档．