题目内容
【题目】如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝
AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.
(1)证明：直线BC∥平面PAD；
(2)若△PCD的面积为2
，求四棱锥P－ABCD的体积.
【答案】(1) 见解析(2) 
【解析】试题分析：（1）第（1）问，转化成线线垂直，转化成证明BC∥AD. (2)第（2）问，先转化△PCD的面积为2
得到BC的长度，再利用体积公式求解.
试题解析：(1)证明：在底面ABCD中，因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD，
又BC平面PAD，AD平面PAD，∴直线BC∥平面PAD.
(2)解：取AD的中点M，连接PM，CM，由AB＝BC＝
AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.
因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.
因为CM底面ABCD，所以PM⊥CM.
设BC＝x，则CM＝x，CD＝
x，PM＝
x，PC＝PD＝2x.
取CD的中点N，连接PN.
则PN⊥CD，所以PN＝
x.
因为△PCD的面积为2
，所以
，
解得x＝－2(舍去)或x＝2.
于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2
.
所以四棱锥P－ABCD的体积V＝
.
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