Question

【题目】已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.

（1）求的方程；

（2）设过点的动直线与相交于两点，问：是否存在直线，使以为直径的圆经过原点，若存在，求出对应直线的方程，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】试题分析：（1）设出，由直线的斜率为求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得，则椭圆方程可求；（2）当轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线：代入椭圆方程化简，由判别式大于求得的范围，若存在以为直径的圆经过点原点，求出，即，得到，符合，进一步求出值，则直线方程可求得.

试题解析：(1)设，由条件知， ，得.

又，所以，

.

故的方程为.

(2)当垂直于轴时不合题意，故设，.

将代入，得．

当，即时，

，，

所以．

若存在以为直径的圆经过点原点，则，

即，即，

所以，符合，所以存在，符合题意，

此时或.