Question

【题目】已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x．
（1）求双曲线E的离心率；
（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1 ， l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）因为双曲线E的渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x，
所以=2．
所以=2．
故c=a，
从而双曲线E的离心率e==．
（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1．
设直线l与x轴相交于点C，
当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|=a，|AB|=4a，
所以|OC||AB|=8，
因此a4a=8，解得a=2，此时双曲线E的方程为﹣=1．
以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E的方程为﹣=1也满足条件．
设直线l的方程为y=kx+m，依题意，得k＞2或k＜﹣2；
则C（﹣，0），记A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
由得y1=，同理得y2=，
由S△OAB=|OC||y1﹣y2|得：
|﹣||﹣|=8，即m2=4|4﹣k2|=4（k2﹣4）．
由得：（4﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣16=0，
因为4﹣k2＜0，
所以△=4k2m2+4（4﹣k2）（m2+16）=﹣16（4k2﹣m2﹣16），
又因为m2=4（k2﹣4），
所以△=0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点．
因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为﹣=1．
【解析】（1）依题意，可知=2，易知c=a，从而可求双曲线E的离心率；
（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1，设直线l与x轴相交于点C，分l⊥x轴与直线l不与x轴垂直讨论，当l⊥x轴时，易求双曲线E的方程为﹣=1．当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=kx+m，与双曲线E的方程联立，利用由S△OAB=|OC||y1﹣y2|=8可证得：双曲线E的方程为﹣=1，从而可得答案．