Question

14．已知函数f（x）=$\sqrt{|x+1|+|x+2|-5}$的定义域为集合A．
（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）设集合B={x|-1＜x＜2}，当实数a，b∈B∩（∁_RA）时，求证：$\frac{|a+b|}{2}$＜|1+$\frac{ab}{4}$|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由于|x+1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到-1和-2 的距离之和，而-4和 1对应点到-1和-2 的距离之和正好等于5，由此求得所求不等式的解集，继而得到集合A；
（Ⅱ）由A、B求出B∩C_RA，即得a、b的取值范围，由此证明．

解答 解：（Ⅰ）由|x+1|+|x+2|-5≥0，
∴|x+1|+|x+2|≥5，
由于|x+1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到-1和-2 的距离之和，
而-4和 1对应点到-1和-2 的距离之和正好等于5，
故不等式|x+1|+|x+2|≥5的解集为 （-∞，-4]∪[1，+∞），
∴A=（-∞，-4]∪[1，+∞）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（∁_RA）=（-4，1），B={x|-1＜x＜2}=（-1，2），
∴B∩（∁_RA）=（-1，1），
∵$\frac{|a+b|}{2}$＜|1+$\frac{ab}{4}$|?2|a+b|＜|4+ab|，
∵4（a+b）²-（4+ab）²=4（a²+2ab+b²）-（16+8ab+a²b²）=4a²+4b²-a²b²-16=a²（4-b²）+4（b²-4）=（b²-4）（4-a²），
又∵a，b∈（-1，1），
∴（b²-4）（4-a²）＜0，
∴4（a+b）²＜（4+ab）²，
∴$\frac{|a+b|}{2}$＜|1+$\frac{ab}{4}$|．

点评 本题考查了求函数的定义域以及集合的运算和不等式的解法与证明问题，是综合题，解题时应把含绝对值的不等式分类讨论，不等式证明时常用作差法，是中档题