题目内容

1.行列式$|\begin{array}{l}{x}&{1}\\{m+1}&{x-1}\end{array}|$的值在x∈[-1,1]上恒小于0,则实数m的取值范围是(1+∞)..

分析 先根据行列式运算公式得到x2-x-m-1<0在[-1,1]上恒小于0,分离参数得到m>x2-x-1在[-1,1]上恒成立,设f(x)=x2-x-1求得其最大值,再由恒成立的原理求解即得.

解答 解:∵$|\begin{array}{l}{x}&{1}\\{m+1}&{x-1}\end{array}|$=x(x-1)-(m+1)=x2-x-m-1,
∴x2-x-m-1<0在[-1,1]上恒小于0,
∴m>x2-x-1在[-1,1]上恒成立,
设f(x)=x2-x-1=(x-$\frac{1}{2}$)2-$\frac{5}{4}$,
∴函数f(x)[-1,$\frac{1}{2}$]上单调递减,在($\frac{1}{2}$,1]上单调递增,
∴当x=-1时,函数f(x)有最大值,即f(-1)=1+1-1=1,
∴m>1,
故m的取值范围为(1,+∞),
故答案为:(1,+∞)

点评 本题主要考查二次函数求最值及不等式恒成立问题,恒成立问题往往转化为函数求最值问题解决.

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