题目内容
【题目】在如图所示的几何体中,平面
.
(1)证明:平面
;
(2)求平面与平面
所成二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】分析:(1)在中,由勾股定理可得
.又
平面
,据此可得
.利用线面垂直的判断定理可得
平面
.
(2)(方法一)延长,
相交于
,连接
,由题意可知二面角
就是平面
与平面
所成二面角.取
的中点为
,则
就是二面角
的平面角.结合几何关系计算可得
.
(方法二)建立空间直角坐标系,计算可得平面
的法向量
.取平面
的法向量为
.利用空间向量计算可得
.
详解:(1)在中,
.
所以,所以
为直角三角形,
.
又因为平面
,所以
.
而,所以
平面
.
(2)(方法一)如图延长,
相交于
,连接
,
则平面平面
.
二面角就是平面
与平面
所成二面角.
因为,所以
是
的中位线.
,这样
是等边三角形.
取的中点为
,连接
,因为
平面
.
所以就是二面角
的平面角.
在,所以
.
(方法二)建立如图所示的空间直角坐标系,可得
.
.
设是平面
的法向量,则
令得
.
取平面的法向量为
.
设平面与平面
所成二面角的平面角为
,
则,从而
.
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