题目内容
【题目】在平面直角坐标系
中，圆
：
，
，
，
为平面内一动点，若以线段
为直径的圆与圆相切．
（1）证明
为定值，并写出点的轨迹方程；
（2）设点的轨迹为曲线
，直线
过
交于
，
两点，过且与垂直的直线与交于
，
两点，求四边形
面积的取值范围．
【答案】(1)证明见解析，轨迹方程为
．(2)
.
【解析】分析：第一问结合题中条件画出相应的图形，连接相关线段，利用中位线的长度以及两圆内切时对应两圆心之间的距离与半径的关系，求得
，从而得到其为定值，之后借助于其范围，利用椭圆的定义，求得其轨迹方程；第二问分直线的斜率不存在、为零、存在且不为零三种情况来分析对应的四边形的面积，从而求得其范围.
详解：（1）设
的中点为
，连接
，
，
在
中，
，分别为
，的中点，所以
，
又圆与动圆相切，则
，所以
，即为定值，
，
所以点
的轨迹是以
，
为焦点的椭圆，
设椭圆方程为
，则
，
，
，
所以点的轨迹方程为．
（2）①当直线
的斜率不存在时，不妨设
，
，
，
，则
，
，四边形
面积
；
②当直线的斜率为0时，同理可得四边形面积
；
③当直线的斜率存在且不为0时，
可设直线的方程为
，设
，
，
联立
得
，
，
，
，
同理
，
四边形面积
，设
，
则
，
所以
；
综上所述，四边形面积的取值范围是．
【题目】2018年4月4日召开的国务院常务会议明确将进一步推动网络提速降费工作落实，推动我国数字经济发展和信息消费，今年移动流量资费将再降30%以上，为响应国家政策，某通讯商计划推出两款优惠流量套餐，详情如下：
套餐名称 | 月套餐费/元 | 月套餐流量/M |
A | 30 | 3000 |
B | 50 | 6000 |
这两款套餐均有以下附加条款：套餐费用月初一次性收取，手机使用流量一旦超出套餐流量，系统就会自动帮用户充值2000M流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统再次自动帮用户充值2000M流量，资费20元，以此类推。此外，若当月流量有剩余，系统将自动清零，不可次月使用。
小张过去50个月的手机月使用流量（单位：M）的频数分布表如下：
月使用流量分组 | [2000,3000] | (3000,4000] | (4000,5000] | (5000,6000] | (6000,7000] | (7000,8000] |
频数 | 4 | 5 | 11 | 16 | 12 | 2 |
根据小张过去50个月的手机月使用流量情况，回答以下几个问题：
（1）若小张选择A套餐，将以上频率作为概率，求小张在某一个月流量费用超过50元的概率.
（2）小张拟从A或B套餐中选定一款，若以月平均费用作为决策依据，他应订购哪一种套餐？说明理由.
