题目内容
20．
以圆锥曲线的焦点弦AB为直径作圆，与相应准线l有两个不同的交点，求证：①这圆锥曲线一定是双曲线；
②对于同一双曲线，l截得圆弧的度数为定值．
分析 ①QH⊥ST，|AB|＞2|QH|，2|QH|=|AA1|+|BB1|=$\frac{AF}{e}$+$\frac{BF}{e}$=$\frac{AB}{e}$，可得e＞1，这圆锥曲线一定是双曲线；
②对于同一双曲线，cos∠SQH=$\frac{QH}{QS}$=$\frac{2QH}{2QF}$=$\frac{A{A}_{1}+B{B}_{1}}{AB}$=$\frac{1}{e}$为定值，即可证明l截得圆弧的度数为定值．
解答 证明：①如图：QH⊥ST，|AB|＞2|QH|，
2|QH|=|AA1|+|BB1|=$\frac{AF}{e}$+$\frac{BF}{e}$=$\frac{AB}{e}$，
所以e＞1，
所以圆锥曲线为双曲线．
②cos∠SQH=$\frac{QH}{QS}$=$\frac{2QH}{2QF}$=$\frac{A{A}_{1}+B{B}_{1}}{AB}$=$\frac{1}{e}$为定值，
所以弧ST的度数为定值．
点评 本题考查圆锥曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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10．
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如图，已知DE是正△ABC的中位线，沿AD将△ABC折成直二面角B-AD-C，则翻折后异面直线AB与DE所成角的余弦值为（ ）| A． | $\frac{3}{4}$ | B． | $\frac{2}{3}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | 0 |
15．已知一个正方体的各顶点都在同一个球面上，现用一个平面去截这个球和正方体，得到的截面图形刚好是一个圆及内接正三角形．若此正三角形的边长为a，则这个球的表面积为 （ ）
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