Question

10．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+\frac{5}{2}x-1，x＜0}\\{{e}^{x}，x≥0}\end{array}\right.$，若|f（x）|≥ax+1，则实数a的取值范围是$[-\frac{5}{2}，1]$．

Answer 1

分析 由f（x）解析式化简|f（x）|，根据x的范围分别化简|f（x）|≥ax+1，利用分离常数法和函数图象的切线求出实数a的取值范围．

解答 解：由题意得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+\frac{5}{2}x-1，x＜0}\\{{e}^{x}，x≥0}\end{array}\right.$，
则|f（x）|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-\frac{5}{2}x+1，x＜0}\\{{e}^{x}，x≥0}\end{array}\right.$，
当x＜0时，不等式|f（x）|≥ax+1为：${x}^{2}-\frac{5}{2}x+1≥ax+1$，
所以a≥x-$\frac{5}{2}$在（-∞，0）上恒成立，则a≥-$\frac{5}{2}$；
当x≥0时，不等式|f（x）|≥ax+1为：e^x≥ax+1，
①当a≤0时，不等式e^x≥ax+1恒成立，
②当a＞0时，函数y=e^x在（0，1）处的切线方程是y=x+1，
所以不等式e^x≥ax+1恒成立需要：a≤1，
则a的取值范围是（-∞，1]，
综上可得，a的取值范围是$[-\frac{5}{2}，1]$，
故答案为：$[-\frac{5}{2}，1]$．

点评 本题以分段函数为载体考查恒成立问题，考查分离常数法，函数图象的切线，以及转化思想，属于中档题．