Question

12．已知函数f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x}+1}$．
（1）判断并证明函数f（x）的单调性；
（2）若f（3^2a+1）＜f（（$\frac{1}{3}$）^4-a），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）可将原函数变成$f（x）=-1+\frac{2}{{2}^{x}+1}$，根据解析式可以看出，x增大时，f（x）减小，从而判断出该函数为减函数，用减函数的定义证明：设任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，通过作差的方法证明f（x₁）＞f（x₂）即可得出f（x）在R上单调递减；
（2）根据f（x）为减函数，便得到3^2a+1＞3^a-4，从而根据指数函数y=3^x的单调性即可得出2a+1＞a-4，解该不等式即得实数a的取值范围．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{-（{2}^{x}+1）+2}{{2}^{x}+1}$=$-1+\frac{2}{{2}^{x}+1}$；
可以看出该函数为减函数，证明如下：
设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}-\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$；
∵x₁＜x₂；
∴${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}＞0$，且$（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在R上为减函数；
（2）f（x）为减函数；
∴由$f（{3}^{2a+1}）＜f（（\frac{1}{3}）^{4-a}）$得：${3}^{2a+1}＞（\frac{1}{3}）^{4-a}$；
即3^2a+1＞3^a-4；
∴2a+1＞a-4；
∴a＞-5；
∴实数a的取值范围为（-5，+∞）．

点评 考查分离常数法的运用，减函数的定义，以及根据减函数的定义证明函数为减函数的方法和过程，作差法在比较两个实数中的应用，指数函数的单调性．