Question

15．已知一个正方体的各顶点都在同一个球面上，现用一个平面去截这个球和正方体，得到的截面图形刚好是一个圆及内接正三角形．若此正三角形的边长为a，则这个球的表面积为 （　　）

• A． $\frac{3}{4}π{a}^{2}$
• B． 3πa²
• C． 6πa²
• D． $\frac{3}{2}π{a}^{2}$

Answer 1

分析 确定正三角形的边长为a，可得正方体的对角线长为$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，球的半径为$\frac{\sqrt{6}}{4}$a，即可求出这个球的表面积．

解答 解：由题意，正三角形的边长为a，
∴正方体的棱长为$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴正方体的对角线长为$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
∴球的半径为$\frac{\sqrt{6}}{4}$a，
∴这个球的表面积为4π×（$\frac{\sqrt{6}}{4}$a）²=$\frac{3}{2}$πa²，
故选：D．

点评 本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．