题目内容
【题目】已知三棱锥(如图一)的平面展开图(如图二)中,四边形
为边长等于
的正方形,
和
均为正三角形,在三棱锥
中:
(I)证明:平面平面
;
(Ⅱ)若点在棱
上运动,当直线
与平面
所成的角最大时,求二面角
的余弦值.
图一
图二
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)设AC的中点为O,证明PO垂直AC,OB,结合平面与平面垂直判定,即可.(2)建立直角坐标系,分别计算两相交平面的法向量,结合向量的数量积公式,计算夹角,即可.
(Ⅰ)设的中点为
,连接
,
.
由题意,得,
,
.
因为在中,
,
为
的中点,
所以,
因为在中,
,
,
,
,所以
.
因为,
平面
,所以
平面
,
因为平面
,所以平面
平面
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,
,
平面
,
所以是直线
与平面
所成的角,
且,
所以当最短时,即
是
的中点时,
最大.
由平面
,
,所以
,
,于是以
,
,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立如图示空间直角坐标系,
则,
,
,
,
,
,
,
,
.
设平面的法向量为
,则
由得:
.
令,得
,
,即
.
设平面的法向量为
,
由得:
,
令,得
,
,即
.
.
由图可知,二面角的余弦值为
.
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练习册系列答案
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空气质量指数(μg/m3) | [0,50] | (50,100] | (100,150] | (150,200] | (200,250] |
空气质量等级 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 |
天数 | 20 | 40 | m | 10 | 5 |
(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n,m的值,并完成频率分布直方图;
(2)由频率分布直方图,求该组数据的平均数与中位数;
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