题目内容
【题目】已知三棱锥
（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形
为边长等于
的正方形，
和
均为正三角形，在三棱锥中：
（I）证明：平面
平面
；
（Ⅱ）若点
在棱
上运动，当直线
与平面
所成的角最大时，求二面角
的余弦值.
图一
图二
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
(1)设AC的中点为O,证明PO垂直AC,OB,结合平面与平面垂直判定,即可.(2)建立直角坐标系,分别计算两相交平面的法向量,结合向量的数量积公式,计算夹角,即可.
（Ⅰ）设
的中点为
，连接
，
.
由题意，得
，
，
.
因为在
中，
，为的中点，
所以
，
因为在
中，，
，
，
，所以
.
因为
，
平面
，所以
平面，
因为
平面
，所以平面
平面.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，
，
平面，
所以
是直线
与平面所成的角，
且
，
所以当
最短时，即
是
的中点时，最大.
由平面，
，所以，
，于是以
，
，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立如图示空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
.
设平面
的法向量为
，则
由
得：
.
令
，得
，
，即
.
设平面
的法向量为
，
由
得：
，
令
，得
，
，即
.
.
由图可知，二面角
的余弦值为.
练习册系列答案
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空气质量等级 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 |
天数 | 20 | 40 | m | 10 | 5 |
（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；
（2）由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；
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