题目内容
10.已知圆:x2+y2+x-6y+c=0,直线l过(1,1)且斜率为$-\frac{1}{2}$.若圆与直线交于P,Q两点,且OP⊥OQ.求(1)直线l方程;
(2)求c的值.
分析 (1)利用直线l过(1,1)且斜率为$-\frac{1}{2}$,可得直线的方程;
(20先将直线与圆的方程联立,得到5y2-20y+12+m=0,再由韦达定理分别求得y1•y2=$\frac{12+c}{5}$.因为OP⊥OQ,转化为x1•x2+y1•y2=0求解.
解答 解:(1)∵直线l过(1,1)且斜率为$-\frac{1}{2}$,
所以直线的方程为y-1=-$\frac{1}{2}$(x-1),即x+2y-3=0;
(2)设P、Q的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),
由OP⊥OQ可得:$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0,
所以x1•x2+y1•y2=0.
由x+2y-3=0得x=3-2y代入x2+y2+x-6y+c=0
化简得:5y2-20y+12+c=0,
所以y1+y2=4,y1•y2=$\frac{12+c}{5}$.
所以x1•x2+y1•y2=(3-2y1)•(3-2y2)+y1•y2=9-6(y1+y2)+5y1•y2
=9-6×4+5×$\frac{12+c}{5}$=c-3=0
解得:c=3.
点评 本题主要考查直线与圆的位置关系其其方程的应用,应用了韦达定理,体现了数形结合的思想,是常考题型,属中档题.
练习册系列答案
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