题目内容
(14分)设F1、F2分别为椭圆C: =1(a>b>0)的左、右两个焦点.
(1)若椭圆C上的点A(1,)到F1、F2两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标;
(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F1K的中点的轨迹方程;
(3)已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性质,并加以证明.
(1)若椭圆C上的点A(1,)到F1、F2两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标;
(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F1K的中点的轨迹方程;
(3)已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性质,并加以证明.
(1)椭圆C的方程为=1,焦点F1(-1,0),F2(1,0).
(2)为所求的轨迹方程.
(3)kPM·kPN=.证明略
(2)为所求的轨迹方程.
(3)kPM·kPN=.证明略
解:(1)椭圆C的焦点在x轴上,由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4,得2a=4,即a=2.又点A(1,)在椭圆上,因此=1得b2=3,于是c2=1.
所以椭圆C的方程为=1,焦点F1(-1,0),F2(1,0).
(2)设椭圆C上的动点为K(x1,y1),线段F1K的中点Q(x,y)满足:
, 即x1=2x+1,y1=2y.
因此=1.即为所求的轨迹方程.
(3)类似的性质为:若M、N是双曲线:=1上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.
设点M的坐标为(m,n),则点N的坐标为(-m,-n),其中=1.
又设点P的坐标为(x,y),由,
得kPM·kPN=,将m2-b2代入得kPM·kPN=.
所以椭圆C的方程为=1,焦点F1(-1,0),F2(1,0).
(2)设椭圆C上的动点为K(x1,y1),线段F1K的中点Q(x,y)满足:
, 即x1=2x+1,y1=2y.
因此=1.即为所求的轨迹方程.
(3)类似的性质为:若M、N是双曲线:=1上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.
设点M的坐标为(m,n),则点N的坐标为(-m,-n),其中=1.
又设点P的坐标为(x,y),由,
得kPM·kPN=,将m2-b2代入得kPM·kPN=.
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