Question

【题目】已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于A,B，过与垂直的直线与椭圆交于，，与交于，求证：直线，，的斜率，，成等差数列．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）由题意知，得圆与直线相切，利用圆心到直线的距离d=r求b,再求a,c,则方程可求；（Ⅱ）设直线的方程为与椭圆联立消y,得韦达定理，再设 直线的方程为，得P坐标，将坐标化代入韦达定理，整理即可证明

（1）由题意知，所以，即，

又因为以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆，

与直线相切，所以圆心到直线的距离d，所以，，

故椭圆的方程为．

（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，则直线的方程为．

由得．

设点，，利用根与系数的关系得，，

由题意知直线的斜率为，则直线的方程为

令，得点的坐标

即，所以成等差数列；