Question

【题目】已知离心率为2的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为.

（1）求双曲线的方程；

（2）设分别为的左右顶点，为异于一点，直线与分别交轴于两点，求证：以线段为直径的圆经过两个定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）根据离心率求得的关系式，利用焦点到渐近线的距离列方程，解方程求得的值，进而求得双曲线方程.（2）设出点的坐标，根据点斜式求得和的方程，进而求得两点的坐标，根据中点坐标和直径长求得圆的方程.令求得两个定点的坐标.

（1）设：，

因为离心率为2，所以，．

所以的渐近线为，

由，得．

于是，，

故的方程为．

（2）设（），

因为，，

可得直线与方程为，．

由题设，所以，，，中点坐标，

于是圆的方程为．

因为，所以圆的方程可化为．

当时，，因此经过两个定点和．