Question

【题目】过圆上的点作圆的切线，过点作切线的垂线，若直线过抛物线的焦点.

（1）求直线与抛物线的方程；

（2）若直线与抛物线交于点，点在抛物线的准线上，且，求的面积.

Answer 1

【答案】（1）.；（2）见解析.

【解析】【试题分析】（1）利用斜率求得过点的切线方程，由此得到垂线的斜率，再由点斜式得到直线的方程，令 可求得焦点的坐标，由此得出抛物线的方程.（2）联立方程组求得两点的坐标.设出点的坐标，利用向量的数量积求得点的坐标，利用弦长公式和点到直线的距离公式得出面积.

【试题解析】

（1）过点且与圆相切的直线方程为，

斜率为，故直线的斜率为，故直线的方程为： ，

即.

令，可得，故的坐标为，

∴，抛物线的方程为；

（2）由可得，

设， ，则， ， ，

点的坐标分别为， .

设点的坐标为，则， ，

则，解之得或，

∴ ，

则点到直线的距离为，故或，

当时， 的面积为.

当时， 的面积为.