题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，
底面
，底面为正方形，
，
，
分别是
，
的中点.
（1）在平面
内求一点
，使
平面
，并证明你的结论；
（2）求
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）
点为
的中点；证明见解析（2）
【解析】
以
所在的直线为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系，设
，可求出各点的坐标
（1）设
，根据线面垂直的性质，可得
，进而可求出
值，得到点的位置；
（2）求出平面
的法向量为
，及的
方向向量
的坐标，代入向量夹角公式，可得与平面所成角的正弦值.
解：以所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图），设，则
，
，
，
，
，
，
，
（1）设
，则
平面
，
，
，所以
，
，所以
，
∴点坐标为
，即点为的中点.
（2）设平面的法向量为
，
由
得，
，即
，
取
，则
，
，得
.
，
所以，与平面所成角的正弦值的大小为.
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