题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调区间;
(2)若恒成立,求实数
的取值范围;
(3)证明:.
【答案】(1)分类讨论,详见解析;(2);(3)详见解析.
【解析】
(1)对函数求导,再根据
的正负分类讨论单调性即可;
(2)解法一:若恒成立,即
,根据(1)中
的单调性求出其最大值即可列式求解;解法二:若
恒成立,即
恒成立,构造函数
,利用导数求出其最大值即可得出结论;
(3)由(2)知当时,有
在
恒成立,令
,即可推出
,再对不等式两边累加求和,即可推出结论.
(1)函数的定义域为
,
,
①当时,
,则
在
上是增函数;
②当时,由
,得
;由
,得
,
则在
上是增函数,在
上是减函数.
(2)解法一:
由(1)知时,
在
递增,而
,
所以不恒成立,故
,
又由(1)知时
,
因为恒成立,
所以,解得
,
所以实数的取值范围为
.
解法二:
由题意知,因为
恒成立,所以
恒成立,
令,则
,
令,令
,
所以在
上递增,在
上递减,
所以,
所以实数的取值范围为
.
(3)由(2)知,当时,有
在
恒成立,
令,则
,
即,从而
,
所以,
即.

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