题目内容
【题目】底面是正方形的四棱锥中中,侧面
底面
,且
是等腰直角三角形,其中
,
分别为线段
的中点,问在线段
上是否存在点
,使得二面角
的余弦值为
,若存在,请求出点
的位置;若不存在,请说明理由.
【答案】存在,为
的中点.
【解析】
试题分析:取的中点
,连接
,可证得
平面
,以
为原点,分别以射线
和
为
轴,
轴和
轴建立空间直角坐标系
,不妨设
,
,分别求出平面
和平面
的法向量,根据二面角的求法得到
的方程,求出其值,若满足
,则存在,否则不存在.
试题解析:取的中点
,连接
,
因为,所以
,
又因为侧面底面
,交线为
,所以
平面
,·······2分
以为原点,分别以射线
和
为
轴,
轴和
轴建立空间直角坐标系
如图,不妨设
,
则有,假设在
上存在符合题意的点
,
则,
因为侧面底面
,交线为
,且底面是正方形,
所以平面
,则
,
又,所以
平面
,即平面
的一个法向量为
,·······4分
设平面的法向理为
,由
即
,亦即
,可取
,·······6分
所以,
解得(舍去)
所以线段上存在点
,且
为
的中点,使得二面角
的余弦值为
.·······10分
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