题目内容

【题目】已知椭圆的离心率为,以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切.

⑴求椭圆C的标准方程;

⑵已知点AB为动直线与椭圆C的两个交点,问:在x轴上是否存在定点E,使得为定值?若存在,试求出点E的坐标和定值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)(2)定值为

【解析】试题分析:(Ⅰ)由e=,以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切,求出a,b,由此能求出椭圆的方程.

)由,得(1+3k2)x2﹣12k2x+12k2﹣6=0,由此利用韦达定理、向量的数量积,结合已知条件能求出在x轴上存在点E,使为定值,定点为().

试题解析:

(Ⅰ)由e=,得=,即c=a,①

以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2+y2=a2

此圆与直线2x﹣+6=0相切,∴a==

代入得c=2,(4分)

∴b2=a2﹣c2=2,∴椭圆的方程为

(Ⅱ)由,得(1+3k2)x2﹣12k2x+12k2﹣6=0,(6分)

设A(x1,y1),B(x2,y2),∴

根据题意,假设x轴上存在定点E(m,0),使得为定值,

则有=(x1﹣m,y1)(x2﹣m,y2)=(x1﹣m)(x2﹣m)+y1y2

=

=(k2+1)

=(k2+1)﹣(2k2+m)+(4k2+m2

=

要使上式为定值,即与k无关,则应有3m2﹣12m+10=3(m2﹣6),

即m=此时=为定值,定点为().

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