Question

【题目】一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮，其圆心角∠POQ= ，半径为R=200m，房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼，为使得地皮的使用率最大，准备了两种设计方案如图，方案一：矩形ABCD的一边AB在半径OP上，C在圆弧上，D在半径OQ；方案二：矩形EFGH的顶点在圆弧上，顶点G，H分别在两条半径上．请你通过计算，为房产商提供决策建议．

Answer 1

【答案】解：按方案一：如图，连OC，设 ，

在Rt△OBC中，BC=Rsinx，OB=Rcosx，则DA=Rsinx
在Rt△OAD中， ，得 ，
则 ，设矩形ABCD的面积为y，则
y=ABBC= = sin（2x+ ）﹣ ，
由 得 ．
所以当 ，即 时 ．
按方案二：如图作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连OE．

设 ，在Rt△MOE中，ME=Rsinα，OM=Rcosα
在Rt△ONH中， ，得 ，
则 ，设矩形EFGH的面积为S，
则S=2MEMN=2R2sinα（cosα﹣ sinα）=R2（sin2α+ cos2α﹣ ）=
由 ，则 ，所以当 ，即 时 ∵ ，即ymax＞Smax
答：给房产商提出决策建议：选用方案一更好．
【解析】分类讨论，按照方案一，二的要求进行讨论．
方案一：连OC，设 ，设矩形ABCD的面积为y，则y=ABBC，通过代入化简，由三角函数的最值确定的条件，可以得出答案；方案二：作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连OE．设 ，设矩形EFGH的面积为S，求出S的式子，由三角函数的性质求出最值．
最后，比较二者最大值的大小，选出最大值即可得出答案．