Question

【题目】设常数a∈R，函数f（x）=（a﹣x）|x|．
（1）若a=1，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）是奇函数，且关于x的不等式mx2+m＞f[f（x）]对所有的x∈[﹣2，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1时， ；

当x≥0时， ，∴f（x）在 内是增函数，在 内是减函数；

当x＜0时， ，∴f（x）在（﹣∞，0）内是减函数；

综上可知，f（x）的单调增区间为 ，单调减区间为（﹣∞，0）， ；

（2）解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）；

即（a+1）1=﹣（a﹣1）1；

解得a=0；

∴f（x）=﹣x|x|，f[f（x）]=x3|x|；

∴mx2+m＞f[f（x）]=x3|x|，即 对所有的x∈[﹣2，2]恒成立；

∵x∈[﹣2，2]，∴x2+1∈[1，5]；

∴ ；

∴ ；

∴实数m的取值范围为

【解析】（1）a=1时，便可得出 ，从而可根据二次函数的单调性，即可分别求出x≥0和x＜0时f（x）的单调区间，从而得出f（x）的单调区间；（2）可由f（x）为奇函数得到a=0，从而得到f（x）=﹣x|x|，进一步求得f[f（x）]=x3|x|，从而可由mx2+m＞f[f（x）]得到 对于任意x∈[﹣2，2]恒成立，可由x∈[﹣2，2]得出 ，这样便可得出实数m的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的函数单调性的判断方法和函数的最值及其几何意义，需要了解单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值才能得出正确答案．