Question

【题目】数列{an}满足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N* ． （Ⅰ）证明：数列{ }是等差数列；
（Ⅱ）设bn=3n ，求数列{bn}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】证明（Ⅰ）∵nan+1=（n+1）an+n（n+1）， ∴ ，
∴ ，
∴数列{ }是以1为首项，以1为公差的等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，
∴ ，
bn=3n =n3n ，
∴ 3n﹣1+n3n①
3n+n3n+1②
① ﹣②得 3n﹣n3n+1
=
=
∴
【解析】（Ⅰ）将nan+1=（n+1）an+n（n+1）的两边同除以n（n+1）得 ，由等差数列的定义得证．（Ⅱ）由（Ⅰ）求出bn=3n =n3n ， 利用错位相减求出数列{bn}的前n项和Sn ．