Question

13．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{9}{2}$-n．
（1）证明：数列{a_n}是等差数列；
（2）设数列{$\frac{9-2{a}_{n}}{{2}^{n}}$}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的定义只要证明：当n≥2时，a_n-a_n-1=常数即可；
（2）$\frac{9-2{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{9}{2}$-n，
∴当n=1时，${a}_{1}=\frac{9}{2}-1$=$\frac{7}{2}$，
当n≥2时，a_n-a_n-1=$\frac{9}{2}-n-[\frac{9}{2}-（n-1）]$=1，
∴数列{a_n}是等差数列，首项为$\frac{7}{2}$，公差为1；
（2）解：$\frac{9-2{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{9-2（\frac{9}{2}-n）}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴T_n=1+$\frac{2}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}+\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=$2-\frac{n+2}{{2}^{n}}$，
∴${T}_{n}=4-\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了等差数列的定义及其通项公式、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、“作差法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．