题目内容
8．
已知⊙O的直径AB=8，⊙B与⊙O相交于点C、D，⊙O的直径CF与⊙B相交于点E，设⊙B的半径为x，OE的长为y．（1）如图，当点E在线段OC上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）当点E在直径CF上时，如果OE的长为3，求公共弦CD的长；
（3）设⊙B与AB相交于G，试问△OEG能否为等腰三角形？如果能，请直接写出$\widehat{BC}$的长度（不必写过程）；如果不能，请简要说明理由．
分析 （1）连接BE利用三角形形似推导函数关系式；
（2）通过点B向弦CE作垂线段BM，利用BM与CD的关系，分两种情况点E在OC上，在OF上求解；
（3）根据三角形形似推导三角形为等腰三角形，求解弦BC的长．
解答 解：（1）连接BE，∵⊙O的直径AB=8，∴OC=OB$\frac{1}{2}$AB=4．∵BC=BE，
∴∠BEC=∠C=∠CBO．∴△BCE∽△OCB．$\frac{CE}{CB}=\frac{BC}{OC}$
∵CE=OC-OE=4-y∴$\frac{4-y}{x}=\frac{x}{4}$
∴y关于x的函数解析式为y=4-$\frac{1}{4}{x}^{2}$，定义域为0＜x≤4；
（2）作BM⊥CE，垂足为M，∵CE是⊙B的弦，∴EM=$\frac{1}{2}CE$．
设两圆的公共弦CD与AB相交于H，则AB垂直平分CD．
∴CH=OC•sin∠COB=OB•sin∠COB=BM
当点E在线段OC上时，EM=$\frac{1}{2}CE$=$\frac{1}{2}$（OC-OE）=$\frac{1}{2}（4-3）=\frac{1}{2}$，
∴OM=EM+OE=$\frac{1}{2}+3=\frac{7}{2}$，
∴BM=$\sqrt{O{B}^{2}-O{M}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}-（\frac{7}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{15}}{2}$，∴CD=2CH=2BM=$\sqrt{15}$．
当点E在线段OF上时，EM═$\frac{1}{2}CE$=$\frac{1}{2}$（OC+OE）=$\frac{1}{2}（4+3）=\frac{7}{2}$，
∴OM=EM-OE=$\frac{7}{2}-3=\frac{1}{2}$
∴BM=$\sqrt{O{B}^{2}-O{M}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}=\frac{3\sqrt{7}}{2}$．
∴CD=2CH=2BM=3$\sqrt{7}$；
（3）△OEG能为等腰三角形，$\widehat{BC}$的长度为$\frac{4}{5}π$或$\frac{12π}{7}$．
点评 本题是三角形相似的高难度应用，难度较大，还需要进行分类讨论，属于压轴题．
| 年龄（岁） | [15，30） | [30，45） | [45，60） | [60，75） |
| 人数 | 12 | 13 | 8 | 7 |
| 赞成人数 | 5 | 7 | x | 3 |
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若从年龄在[45，60），[60，75）两组赞成“交通限行”的人中再随机选取2人进行进一步的采访，记选中的2人至少有1人来自[60，75）年龄段为事件M，求事件M的概率．
